CCP Maths 1 MP 2001

Thème de l'épreuve Démonstration et utilisation du théorème de Brouwer dans le plan
Principaux outils utilisés convexité, topologie, algèbre bilinéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2001 MPOO4

A

CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices ne sont pas autorisées.

Après une première partie consacrée à l'étude de la projection sur les convexes 
fermés de R" on
; ° \ 2 , \ . !
etablrra (dans lP*--. ) le theoreme du pornt fixe de Brouwer et quelques unes 
de ses consequences.

On suppose que PE." est muni de son produit scalaire canonique et de la norme 
associée, notés ( | )

n
et || , donc si x=(xl,...,xn) et y=(yl,...,yn) sont des éléments de R" on a: 
(xly)=îxiyi et
i=l

1/2 . . ° . , . . .
Hxll =(xlx) . SI X est une part1e de R" on notera X son interieur, 501t f:X 
--->R" on dira que

a E X est un point fixe de f si f (a) =u ; si ie {l,...,n},f,-- désigne la 
composante de rang i de f,

donc: f(x) : (fi(....r),,fl(x),......,f,,(r))

I. Proiection sur un convexe fermé de R"

2

1. Démontrer que si (x, y) EUR(ÎÊ'." , on a: |(xly)l Sl|xll "y" (inégalité de 
Schwarz). Montrer que

'(fly)l = "X! |

bic et ||a--bll=lla--cl

si et seulement si x et y sont colinéaires. Montrer que si {a,b,c} CR" vérifie :

yl

b+c
2

0. Soit alors 
5:[0,1]-->R

définie par: 3( (t)(x))=l|(x--P )--t (--y P(.\ ))l.l Montrer qu'il existe 
te]0,l[ tel que:

>< llx-- P< ()II2

6. Déduire de 4. et 5. que u : P(x) si et seulement si: u EA et (x--uly--u)SO 
pour tout
y EUR A.

7. Soit {x, y} c: R" montrer que : (x-- y|P(x) --- P(y)) 2 HP(x) -- P( y)"2 . 
En déduire que P vérifie

les propriétés suivantes : P est continue, P (R") = A, P(x) : x si x E A.

8. Montrer que si x e A, alors P(x) & A (raisonner par l'absurde en supposant 
qu'il existe une
boule de centre P(x) , de rayon strictement positif, incluse dans A).

Il. Théorème de Brouwer dans R2

Pour toute la suite du problème, on se place dans È...2 ; si r > O, B(O, r) 
désigne le disque fermé de
centre O et de rayon r et S(O,r) le cercle correspondant, on note B =B(O,l) et 
S = 5 (0,1). On

entend par application dérivable (ou C1 ou C2) de B (ou de B >< R) dans R2 (ou 
R), la restriction

\ \ , ° - ; - / ° ° 2 3

a B (ou a B >< R) d une application derrvable (ou C1 ou C2) def1me sur un 
ouvert de R (ou R ),
' \ ')

contenant B (ou B >< l"«zf...), a valeurs dans lPl" (ou F).

A: Cas particulier d'une application de classe C2

Soit f:B --> lPlZ, on suppose que f est de classe C2 et que f(B) c B et on se 
propose de

montrer que f possède au moins un point fixe. On va raisonner par l'absurde et 
supposer que :
f(x) # x pour tout x E B.

...

9. Montrer qu'il existe p:B --->R,, unique, telle que: x+p(x)(x-- f(x))eS pour 
tout xe B.

Expliciter p, montrer qu'elle est de classe C2 et que p(x) = 0 si et seulement 
si x E S . On
80(j
aXi

pose : oc(x) : p(x)(x--f(x)) et 0t,--j(x) : (x) pour tout (i,j)e {1,2}2 et 
(p(x) : x+0t(x).

"%) Y----(Pl(x>

8 . ., .
10. Montrer que, pour tout x E B, la matrice âË_'2 8(Ëî est smguhere (on 
pourra, a cet
8x1 --( ) % ------ lPY définie par : J(t) : HB w(x,t)dxldx2 . Justifier 
l'existence de J et calculer
J(O) et J(1).

c) Montrer, grâce au théorème de Fubini que "B B(x)dxldx2 : 0.

(1) Soit g:B --9 P2 de classe C 2
. 8g__L< x)a--82( a81( x)---a----82(
SÛIÔHÏ Il(g J...B ax1X)(ax2X)dxldX2 , 12(g)=JJB'--(ax2X)ax1X)XmdX2.
Montrer que :

zl=JÏ.'lg,(m,3)ä(mi)_glt )Ê--82( Jr--îs)lds-- JJ,gl @ & (x)dxidXz

8x2 8x2 8x18x2

2

On obtient alors, de façon analogue :

zz=flatfl)ô--ëtfi>--gla--gz ...-- >lds--u ,

8x1 8x1

)dx28xl (x)dx 1dx2

Montrer que: HB'y(x)dxldx2 :O et donc, que J est constante; montrer que ceci est

impossible.

0 ° ; / / \ ° ° ' ° 2
On a a1ns1 demontre le theoreme de Brouwer part1cul1er : toute application de 
classe C ,
de B dans B, a au moins un point fixe.

Tournez la page S.V.P.

B. Forme générale du théorème de Brouwer

On admettra la généralisation suivante du théorème de Weierstrass : soit F un 
fermé borné
non v1de de R , son g:F ---> F:. SI g est continue, il ex1ste, pour tout 8 > 0, 
une apphcat10n

g... de R2 dans Ê', de classe C2 , telle que : sup{|g(e)(x) -- g(x)l:x & F} S 8 
.

12. Montrer que si F est un fermé borné non vide de R2, et si :F --> R2 est 
continue, il existe,
8

pour tout £>O une application g... de R2 dans R2, de classe C2, telle que:

sup{Hg(e)(x) -- g(x)ll:x EUR F} S 8 .

13. Soit f 18 ----> B , f continue. Soit 8 > 0, il existe, d'après 12. une 
application f... de R2 dans

f(g)(X)--f(x)":x & B}S e.

S . [1 © 3132 _f(8)(X) .
Olt (£)--£a"... '--).'-.--'... , h(8)(.X) " 1+8 . MOHÏÏEURÏ que h(8)(B) C B et 
que .

R2, de classe C2, telle que : SUP{l

14. Montrer que si f : B --> B est continue, elle possède au moins un point 
fixe.

15. Soit r > 0, soit f :Ë(O, r) ---> _Ë(O, r), montrer que si fest continue 
elle possède au moins un

. . . l
pomt fixe (cons1dérer g: B --> R2, g(x) : ;-- f (rx) ).

16. Soit A un convexe fermé borné non vide de R2, soit f :A -->R2, f continue 
telle que:

f(A\Â)CA.

a) Montrer qu'il existe r > 0 tel que : A U f(A) <: _Ë(O, r).

b) On associe au convexe fermé non vide A la projection P, comme cela a été 
défini en
question 3. Soit alors h : B(O,r) --> lPÎ2 définie par h(x) : f (P(x)) Déduire 
de l'étude de

h que f possède au moins un point fixe dans A. On a donc le théorème de Brouwer
général : si A est un convexe fermé borné non vide de R2, et si f :A -->R2 est 
continue et

vérifie : f ( A \ A) c A , alors f possède au moins un point fixe dans A.

III. Quelgues conséquences du théorème de Brouwer

17.

18.

19.

20.

Soit f :B --> S , telle que : f(x) = x pour tout x E S. Montrer, en étudiant 
(-- f) , que f ne
peut être continue (ceci constitue le théorème de non rétraction).

Soit f:B-->lP-î2 telle que : f continue et f(x)=x pour tout xeS. Soit alors 
y6£f(B) ,
_y___--f(x )
"Y f(x

montrer, en étudiant g : B ----> lPä2 définie par: gx)( ,que y & B. En déduire 
que :

Bcf(B).

Soit h:S >< [0,1] --> S telle que : h continue et h(x,0) : x pour tout x & S . 
Supposons qu'il
existe y E S tel que : h(x,l)= y pour tout x e S ; soit alors f, de B dans S, 
définie par :

()[=||Î|| """... si x7£ 0.

y si x= 0
Montrer que f est continue et que cela contredit le théorème de non rétraction 
; en déduire

que (x ----> h(x,l)) ne peut être constante (on dit que S n'est pas 
contractile).

Soit : È'...2---->JË2 telle que: f continue, (f(x)|x)20 pour tout xeR2,
||f(X)II----|W+oe. Soit yelPä.ï soit r>O, on définit, si yOE f OE(Û,r)), 
l'application
y-- __f__

g(,.): Ë(O,Ï)--)Ëî2 par: g(l')x (X ): Ï--î_--||yf (x)--||

a) Montrer qu'il existe u... & S (O,r) tel que l'on ait :

{f(u...) a...) = (y la...) -- r

b) Montrer que f(R2) = lÊ12.

Y " f ("o-->)ll

Fin de l'énoncé.

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CCP Maths 1 MP 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Yacine Dolivet (ENS Ulm) ; il a été relu par Thomas
Chomette (ENS Ulm) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Dans ce sujet on se propose de démontrer la version 2-dimensionnelle du fameux
théorème de Brouwer qui affirme que toute application continue d'un convexe 
compact dans lui-même possède au moins un point fixe.
Dans une première partie assez classique, on établit l'existence et les 
propriétés de
la projection sur les convexes. On aborde ensuite la démonstration proprement 
dite
du théorème. La démarche adoptée consiste à étudier d'abord le cas des 
fonctions C 2 ,
puis à étendre l'existence d'un point fixe par densité à toutes les fonctions 
continues.
Dans une dernière partie enfin, on établit quelques conséquences intéressantes 
du
théorème ; plusieurs d'entre elles sont des exercices classiques dans l'esprit 
de ce qui
pourrait tomber à l'oral. Il est donc judicieux d'assimiler les idées 
développées ici.
Outre le fait que le théorème de Brouwer semble devenir un thème à la mode,
ce sujet, complet, fait de plus intervenir beaucoup de techniques classiques 
d'algèbre
bilinéaire, d'analyse et de topologie. Bref, c'est un bon entraînement.

Indications
Mise en garde : pour les questions 5 et 8, la résolution proposée ici s'écarte 
des
suggestions de l'énoncé dans le seul souci pédagogique de mieux mettre en 
valeur les
arguments à utiliser, qui restent les mêmes de toute façon.
Partie I
1 Écrire l'identité du parallélogramme.
2 Quand F est compact dx : y 7 kx - yk possède un minimum sur F.
4 Développer k(x - ) + ( - y)k2 et comparer à kx - k2 .
5 Développer kx - (ty + (1 - t)P(x))k2 > kx - P(x)k2 et comparer à kx - P(x)k2 .
7 Écrire x - y = (x - P(x)) + (P(x) - P(y)) + (P(y) - y) .
8 Pour tout x0 dans le segment [ x ; P(x) ], on a
kx - x0 k = kx - P(x)k - kx0 - P(x)k
Partie II
9 Montrer que le discriminant de l'équation du second degré en ,
kx + (x - f (x))k2 = 1
est strictement positif. D'autre part, la fonction racine est C  sur R+ .
10 Différencier la relation k(x)k = 1 et en déduire que l'image de la matrice
jacobienne de  est incluse dans l'orthogonal de (x) .
11.a (x, 1) est la matrice étudiée dans la question précédente.
11.c  s'annule sur le cercle !
11.d Que vaut  sur le cercle ? Et que dire de la constance de J d'après la 
question 11.b ?

1
f+
f et utiliser l'inégalité triangulaire.
13 Écrire f =
1+
1+
14 Considérer une suite (xn ) constituée de points fixes de h1/n , montrer 
qu'elle a
une valeur d'adhérence et montrer que celle-ci est point fixe de f .
16.b Prouver que h a un point fixe et montrer que celui-ci ne peut se trouver 
que
dans A.
Partie III
19 Montrer que h est uniformément continue.
20.a Montrer que g(r) a un point fixe, et multiplier la relation g(r) (u(r) ) = 
u(r)
par u(r) .
20.b D'après la question d'avant (y|u(r) ) > r ky - f (u(r) )k. Utiliser alors 
l'inégalité
de Schwarz à gauche et l'inégalité triangulaire à droite.

I. Projection sur un convexe fermé de Rn
1 La première partie de cette question fait directement appel au cours, on 
redonne
rapidement la démonstration. Soient deux vecteurs x et y. Alors pour tout t  R 
on
a kx + t yk > 0, d'où, en prenant le carré et en développant
kyk2 t2 + 2 (x | y) t + kxk2 > 0
Or, un polynôme du second degré en t ne peut être toujours positif que si son 
discriminant (réduit) est négatif ou nul, ce qui s'écrit
2

(x | y) 6 kxk2 kyk2
D'où, en prenant la racine de cette inégalité
(inégalité de Schwarz)

| (x | y) | 6 kxk kyk

Dans le cas d'égalité, le discriminant s'annule et donc il existe une racine 
double t0
vérifiant kx + t0 yk = 0. Les deux vecteurs sont alors colinéaires.
Pour montrer l'inégalité demandée, on se sert de la relation du parallélogramme
!
w
w2
w
b + cw
2
2
2
w
w
kb - ak + kc - ak = 2 wa -
+ kb - ck
2 w
D'où, avec les hypothèses de l'énoncé
w
w2
w
b + cw
w + kb - ck2
kb - ak2 = w
a
-
w
2 w
w2
w
w
b + cw
w
w
> wa -
2 w

z

v

u

w

kwk2 + kz k2 = 2(kuk2 + kv k2)

1
1
avec u = (w + z) et v = (w - z) . En prenant w = b - a et z = c - a,
2
2
on obtient la forme de la propriété du parallélogramme utilisée juste avant.
Notons enfin qu'on aurait pu aboutir au résultat sans connaître cette relation.
En effet, avec les hypothèses, si jamais a - b et a - c sont colinéaires, alors,
puisqu'ils sont de même norme et que b 6= c, on a a =(b + c)/2 et l'inégalité
est vraie, et s'ils ne le sont pas, l'inégalité de Schwarz écrite pour a - b et
a - c est stricte. Alors, en élevant au carré l'inégalité suivante
w
w
w
w
wa - b + c w = 1 k(a - b) + (a - c)k 6 1 (ka - bk + ka - ck)
w
2 w 2
2
et en utilisant cette inégalité stricte de Schwarz, on obtient le résultat.

2 Ce qu'on cherche à montrer, c'est que la distance à un fermé de Rn est 
toujours
atteinte.
Soient x  Rn et F un fermé non vide de Rn . Considérons dx : y 7 kx - yk
l'application distance au point x définie sur Rn ; elle est continue. Si F est 
borné,
sa restriction dx au compact F (on rappelle que dans Rn les fermés bornés sont
F
exactement les compacts), admet un minimum qui est atteint en un certain u  F.
Si F n'est plus borné, on choisit y0 dans F (F est non vide). On note d = kx - 
y0 k
et B = B(x, d) la boule fermée centrée en x de rayon d. Alors F  B étant compact
et d'après ce qui vient d'être dit, il existe u  F  B minimisant dx
et en
FB
particulier kx - y0 k > kx - uk. Mais alors, pour tout y  F,
· soit kx - yk 6 kx - y0 k alors y  B et donc kx - yk > kx - uk,
· soit kx - yk > kx - y0 k > kx - uk de toute façon.
Ainsi

y  F u  F

kx - yk > kx - uk

3 Soit A un convexe fermé non vide. La question précédente établit l'existence 
de u.
Il ne nous reste alors plus qu'à montrer qu'il est unique pour la propriété 
demandée.
Considérons donc un autre v  A vérifiant la même chose. On a donc bien sûr
kx - uk > kx - vk et kx - vk > kx - uk, autrement dit
kx - uk = kx - vk
w
w
w
u + vw
w
w < kx - uk d'après la
À présent, si on avait u 6= v, on aurait wx -
2 w
u+v
question 1. Mais ceci est absurde puisque A étant convexe,
est dans A et donc
2
w
w
w
w
u
+
v
w
nécessairement w
wx - 2 w > kx - uk.
La meilleure façon de montrer l'importance de l'hypothèse de convexité est
de considérer le cas où A est un cercle (non réduit à un point). Alors pour x
son centre, u ne pourrait pas être moins unique puisqu'ici tous les élements
de A sont équidistants de x !

4 Considérons   A satisfaisant les hypothèses de l'énoncé et prenons y 
quelconque
dans A. Alors on a
kx - yk2 = k(x - ) + ( - y)k2
= kx - k2 + k - yk2 - 2 (x -  | y - )
kx - yk2 > kx - k2
puisque tous les autres termes du membre de droite sont positifs selon 
l'hypothèse.